Probleem #9

Probleem 9 Wiskunde Meetkunde

Ben je geïnteresseerd in onze brochure met allerlei tips & tricks voor een optimale voorbereiding voor het toelatingsexamen van arts of tandarts? Het is volledig gratis! ? Klik dan hier ? om het in je mailbox te ontvangen. ?

Probleemstelling

Als je weet dat │BC│= 10, hoek CAB = 30° en de oppervlakte van de cirkel is 9π/4, hoe groot is de hoek ABC?

<A> 0° < hoek B < 30°
<B> 30° < hoek B < 45°
<C> 45° < hoek B < 60°
<D> 60° < hoek B < 90°

Oplossing

Vooraleer we aan onnodige berekeningen beginnen, zullen we eerst een intelligente plan van aanpak bedenken. Wat we meteen moeten opmerken, is dat de zijde │AC│ twee functies heeft: 1) het vormt de middellijn van de cirkel en 2) het is een zijde van de driehoek ABC. Aangezien de oppervlakte geweten is, kunnen we gemakkelijk de lengte van de zijde │AC│ achterhalen. Verder hebben we hoek A gegeven en diens overstaande zijde. Dit geweten, kunnen we hoek B bepalen via de sinusregel. Bingo!

Samengevat:
1) Bepalen van │AC│ via het gegeven over de oppervlakte van de cirkel
2) De sinusregel toepassen met │AC│, │BC│ en hoek A.

Omdat de oppervlakte gelijk is r2π weten we dat r = 3/2. Nu is │AC│ = 2*r = 3. Vervolgens passen we de sinusregel. Deze regel zegt dat in elke driehoek de verhouding van een zijde en de sinus van de overstaande hoek constant is. En dus:

\frac{│AC│}{sin(hoek B)} = \frac{│BC│}{sin(hoek A)}

\Rightarrow sin(hoek B) = \frac{│AC│* sin(hoek A)}{│BC│} = \frac{3* sin(30°)}{10} = \frac{3}{20}

Aangezien we weten dat sin(30°) = 1/2. Merk echter op dat 3/20 < 1/2, dus we weten dat hoek B sowieso kleiner moet zijn dan 30°. Er is dus maar één antwoord mogelijk, zijnde A.

P.S.: Merk op dat de tekening slechts een schets is, ga dus niet met je geodriehoek deze hoek meten.

Schrijf een reactie